Кроме футбола, в детстве играл в хоккей, теннис и баскетбол. Александр даже стал чемпионом Украины по баскетболу, когда ему было 11 лет. Баскетбол показал лучшие стороны игрока, такие как прыгучесть и уверенную ловлю мяча. Игрока заметил тренер динамовской школы Виктор Иосифович Кащей. Рыбка сначала играл в нападении, потом — в воротах. В главной команде «Динамо» дебютировал в сезоне 2005/06.
Стал известен после молодёжного чемпионата Европы 2006 в Португалии. Хотя основным вратарём во всех играх был Андрей Пятов, тренер Алексей Михайличенко решил выпустить именно Александра Рыбку на серию пенальти в полуфинале против Сербии и Черногории. Игрок отбил первый удар (Янковича) и, в итоге, после 5 ударов счёт был 4:4, в первом дополнительном круге удар Пуровича летит выше и, таким образом, Рыбка приносит победу Украине. 26 сентября 2006 года дебютировал в еврокубках, выйдя на замену в выездной игре Лиги чемпионов против «Реал Мадрид», поскольку красную карточку получил Александр Шовковский. На 90-й минуте матча пострадал от столкновения с испанским защитником Серхио Рамосом, но сумел вернуться на поле и доиграл поединок. После игры врачи констатировали у игрока сотрясение мозга.
В ноябре 2006 года становится главным героем скандала: в игре 18-го тура первой лиги «Динамо-2» — ЦСКА (Киев) на 58-й минуте во время атаки армейцев Рыбка выбежал на перехват мяча за пределы штрафной. Футболист ЦСКА Сергей Матюк бил по мячу ногой, а Рыбка пытался выбить его головой. В результате Матюк попал и по мячу, и по лицу вратаря, рассёк его шипами. После этого Рыбка, предполагают, что в состоянии аффекта, начал бить лежащего соперника ногами, за что был сразу удалён с поля. Затем в дело вмешался главный тренер ЦСКА Юрий Максимов, который ударил Рыбку рукой по лицу. Таким образом Александр второй раз за два месяца попал в больницу с сотрясением мозга, а после рассмотрения дела Контрольно-дисциплинарным комитетом ФФУ получил 10 матчей дисквалификации.
В феврале 2010 года отправился вместе с киевской «Оболонью» на сбор в Турцию. После он перешёл в команду на правах свободного агента.
Летом 2011 года перешёл в донецкий «Шахтёр», подписав двухгодичный контракт.
В 2002—2006 годах выступал в юношеской и юниорской сборных Украины (40 матчей). Участник Евро-2004 (до 17, 3 матча).
11 октября 2011 года Александр дебютировал в сборной в матче Украина — Эстония. Он не пропустил ни одного мяча в свои ворота, и смог отбить пенальти.
13 января 2012 года у Рыбки в крови был обнаружен запрещённый препарат — фуросемид, сам игрок сказал, что запрещённое вещество находилось в мочегонном средстве для похудения, которое он принимал. Само мочегонное средство допингом не является, но оно запрещено, так как помогает вывести из организма следы других, допинговых препаратов. До окончания разбирательства по делу футболист был отстранён от игр «Шахтёра». 30 января ему был вынесен вердикт: УЕФА отстранила футболиста от выступлений в официальных матчах на два года. Все апелляции были отклонены.
«Шахтер» предложил Рыбке заключить новый контракт на 3 года, но Рыбка отказался, объяснив это тем, что в клубе серьезный подбор вратарей, и он вряд ли сможет конкурировать с ними за место в основе, и в августе покинул клуб. В сентябре 2012 года начал тренироваться вместе с футболистами команды «Оболонь» (Киев), затем «Арсенал» (Киев), затем поддерживал форму в «Динамо» (Киев).
1 ноября 2013 года официальный сайт «Динамо (Киев)» сообщил о том, что Рыбка оформил с клубом контракт сроком на три года. Соглашение вступило в силу с января 2014 года.
